Theorem 2ecoptocl 7838

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2ecoptocl.4	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2		2ecoptocl.3	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 330	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
7	6	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑))
8	1, 5, 7	ecoptocl 7837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
10	1, 3, 9	ecoptocl 7837	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒))
11	10	impcom 446	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   × cxp 5112  [cec 7740   / cqs 7741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ec 7744  df-qs 7748

This theorem is referenced by:  3ecoptocl  7839  ecovcom  7854  addclsr  9904  mulclsr  9905  ltsosr  9915  mulgt0sr  9926