Theorem bnj1154 31067

Description: Property of Fr. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj1154	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem bnj1154

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj658 30821	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elisset 3215	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
3	2	bnj708 30826	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
4		df-fr 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑏((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5	4	biimpi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → ∀𝑏((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6	5	19.21bi 2059	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
7	6	3impib 1262	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
8		sseq1 3626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
9		neeq1 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	8, 9	3anbi23d 1402	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
11		raleq 3138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	rexeqbi1dv 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	10, 12	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
14	7, 13	mpbii 223	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15	3, 14	bnj593 30815	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16	15	bnj937 30842	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17	1, 16	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   ∧ w-bnj17 30752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-fr 5073  df-bnj17 30753

This theorem is referenced by:  bnj1190  31076