Theorem fneuni 32342

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fneuni	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 32340	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3603	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		elfvdm 6220	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4		eltg3 20766	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
6	5	ibi 256	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  topGenctg 16098  Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by: (None)