Theorem gchen2 9448

Description: If 𝐴 < 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen2	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		gchi 9446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3expia 1267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
4	3	con3dimp 457	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	an32s 846	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
6	5	adantrr 753	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
7		bren2 7986	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
8	1, 6, 7	sylanbrc 698	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  Fincfn 7955  GCHcgch 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-gch 9443

This theorem is referenced by:  gchhar  9501