Theorem onssneli 5837

Description: An ordering law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 13-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onssneli	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem onssneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐵))
2		on.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ On
3	2	oneli 5835	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ On)
4		eloni 5733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
5		ordirr 5741	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
7	1, 6	nsyli 155	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	pm2.01d 181	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  Ord word 5722  Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  onsucconni  32436