Theorem onsuci 7038

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Corollary 7N(c) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 12-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onsuci	⊢ suc 𝐴 ∈ On

Proof of Theorem onsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ On
2		suceloni 7013	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ suc 𝐴 ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  Oncon0 5723  suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  1on  7567  2on  7568  3on  7570  4on  7571  tz9.12lem2  8651  tz9.12  8653  rankpwi  8686  bndrank  8704  rankval4  8730  rankmapu  8741  rankxplim3  8744  cfcof  9096  ttukeylem6  9336  onsucconni  32436  onsucsuccmpi  32442