Theorem shex 28069

Description: The set of subspaces of a Hilbert space exists (is a set). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shex	⊢ Sℋ ∈ V

Proof of Theorem shex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 27856	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2	1	pwex 4848	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ ∈ V
3		shss 28067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4		selpw 4165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝑥 ⊆ ℋ)
5	3, 4	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℋ)
6	5	ssriv 3607	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
7	2, 6	ssexi 4803	1 ⊢ Sℋ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   ℋchil 27776   S_ℋ csh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-pow 4843  ax-hilex 27856

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  chex  28083