Theorem slmdsn0 29764

Description: The set of scalars in a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdsn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdsn0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 29760	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 18509	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4		slmdsn0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	4, 5	mndidcl 17308	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Mnd → (0g‘𝐹) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → (0g‘𝐹) ∈ 𝐵)
8		ne0i 3921	. 2 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
9	7, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  SRingcsrg 18505  SLModcslmd 29753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cmn 18195  df-srg 18506  df-slmd 29754

This theorem is referenced by: (None)