Theorem somin2 5531

Description: Property of a minimum in a strict order. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
somin2	⊢ ((𝑅 Or 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → if(𝐴𝑅𝐵, 𝐴, 𝐵)(𝑅 ∪ I )𝐵)

Proof of Theorem somin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		somincom 5530	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → if(𝐴𝑅𝐵, 𝐴, 𝐵) = if(𝐵𝑅𝐴, 𝐵, 𝐴))
2		somin1 5529	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → if(𝐵𝑅𝐴, 𝐵, 𝐴)(𝑅 ∪ I )𝐵)
3	2	ancom2s 844	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → if(𝐵𝑅𝐴, 𝐵, 𝐴)(𝑅 ∪ I )𝐵)
4	1, 3	eqbrtrd 4675	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → if(𝐴𝑅𝐵, 𝐴, 𝐵)(𝑅 ∪ I )𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572  ifcif 4086   class class class wbr 4653   I cid 5023   Or wor 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  soltmin  5532