Theorem uhgrspan1lem1 26192

Description: Lemma 1 for uhgrspan1 26195. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem1	⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Proof of Theorem uhgrspan1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3	difexi 4809	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
5		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
8	7	resex 5443	. 2 ⊢ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V
9	4, 8	pm3.2i 471	1 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  {csn 4177  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-res 5126  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  uhgrspan1lem2  26193  uhgrspan1lem3  26194