QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u1lem11 Unicode version
Theorem u1lem11 780
Description: Lemma used in study of orthoarguesian law.
Assertion
Ref Expression
u1lem11 ((a' ->1 b) ->1 b) = (a ->1 b)
Proof of Theorem u1lem11
StepHypRef Expression
1 ud1lem0c 277 . . . . 5 (a' ->1 b)' = (a' ^ (a'' v b'))
2 ax-a1 30 . . . . . . . 8 a = a''
32ax-r1 35 . . . . . . 7 a'' = a
43ax-r5 38 . . . . . 6 (a'' v b') = (a v b')
54lan 77 . . . . 5 (a' ^ (a'' v b')) = (a' ^ (a v b'))
61, 5ax-r2 36 . . . 4 (a' ->1 b)' = (a' ^ (a v b'))
7 u1lemab 610 . . . . 5 ((a' ->1 b) ^ b) = ((a' ^ b) v (a'' ^ b))
8 ax-a2 31 . . . . 5 ((a' ^ b) v (a'' ^ b)) = ((a'' ^ b) v (a' ^ b))
92ran 78 . . . . . . 7 (a ^ b) = (a'' ^ b)
109ax-r5 38 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) = ((a'' ^ b) v (a' ^ b))
1110ax-r1 35 . . . . 5 ((a'' ^ b) v (a' ^ b)) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
127, 8, 113tr 65 . . . 4 ((a' ->1 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
136, 122or 72 . . 3 ((a' ->1 b)' v ((a' ->1 b) ^ b)) = ((a' ^ (a v b')) v ((a ^ b) v (a' ^ b)))
14 comanr1 464 . . . . . . 7 a C (a ^ b)
1514comcom3 454 . . . . . 6 a' C (a ^ b)
16 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b)
1715, 16com2or 483 . . . . 5 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1817comcom 453 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a'
19 comor1 461 . . . . . . 7 (a v b') C a
20 comor2 462 . . . . . . . 8 (a v b') C b'
2120comcom7 460 . . . . . . 7 (a v b') C b
2219, 21com2an 484 . . . . . 6 (a v b') C (a ^ b)
2319comcom2 183 . . . . . . 7 (a v b') C a'
2423, 21com2an 484 . . . . . 6 (a v b') C (a' ^ b)
2522, 24com2or 483 . . . . 5 (a v b') C ((a ^ b) v (a' ^ b))
2625comcom 453 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a v b')
2718, 26fh3r 475 . . 3 ((a' ^ (a v b')) v ((a ^ b) v (a' ^ b))) = ((a' v ((a ^ b) v (a' ^ b))) ^ ((a v b') v ((a ^ b) v (a' ^ b))))
28 or32 82 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) v (a' ^ b)) = ((a' v (a' ^ b)) v (a ^ b))
29 ax-a3 32 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) v (a' ^ b)) = (a' v ((a ^ b) v (a' ^ b)))
30 orabs 120 . . . . . . 7 (a' v (a' ^ b)) = a'
3130ax-r5 38 . . . . . 6 ((a' v (a' ^ b)) v (a ^ b)) = (a' v (a ^ b))
3228, 29, 313tr2 64 . . . . 5 (a' v ((a ^ b) v (a' ^ b))) = (a' v (a ^ b))
33 or12 80 . . . . . 6 ((a v b') v ((a ^ b) v (a' ^ b))) = ((a ^ b) v ((a v b') v (a' ^ b)))
34 anor2 89 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) = (a v b')'
3534lor 70 . . . . . . . 8 ((a v b') v (a' ^ b)) = ((a v b') v (a v b')')
36 df-t 41 . . . . . . . . 9 1 = ((a v b') v (a v b')')
3736ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a v b') v (a v b')') = 1
3835, 37ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a v b') v (a' ^ b)) = 1
3938lor 70 . . . . . 6 ((a ^ b) v ((a v b') v (a' ^ b))) = ((a ^ b) v 1)
40 or1 104 . . . . . 6 ((a ^ b) v 1) = 1
4133, 39, 403tr 65 . . . . 5 ((a v b') v ((a ^ b) v (a' ^ b))) = 1
4232, 412an 79 . . . 4 ((a' v ((a ^ b) v (a' ^ b))) ^ ((a v b') v ((a ^ b) v (a' ^ b)))) = ((a' v (a ^ b)) ^ 1)
43 an1 106 . . . 4 ((a' v (a ^ b)) ^ 1) = (a' v (a ^ b))
4442, 43ax-r2 36 . . 3 ((a' v ((a ^ b) v (a' ^ b))) ^ ((a v b') v ((a ^ b) v (a' ^ b)))) = (a' v (a ^ b))
4513, 27, 443tr 65 . 2 ((a' ->1 b)' v ((a' ->1 b) ^ b)) = (a' v (a ^ b))
46 df-i1 44 . 2 ((a' ->1 b) ->1 b) = ((a' ->1 b)' v ((a' ->1 b) ^ b))
47 df-i1 44 . 2 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
4845, 46, 473tr1 63 1 ((a' ->1 b) ->1 b) = (a ->1 b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->1 wi1 12
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u1lem12  781  2oai1u  822  1oath1i1u  828  oa4to4u  973  3oa2  1024
  Copyright terms: Public domain W3C validator