QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  wdf-c2 Unicode version
Theorem wdf-c2 384
Description: Show that commutator is a 'commutes' analogue for == analogue of =.
Hypothesis
Ref Expression
wdf-c2.1 C (a, b) = 1
Assertion
Ref Expression
wdf-c2 (a == ((a ^ b) v (a ^ b'))) = 1
Proof of Theorem wdf-c2
StepHypRef Expression
1 le1 146 . 2 (a == ((a ^ b) v (a ^ b'))) =< 1
2 lea 160 . . . . 5 (a' ^ b) =< a'
3 lea 160 . . . . 5 (a' ^ b') =< a'
42, 3lel2or 170 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) =< a'
54lelor 166 . . 3 (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) =< (((a ^ b) v (a ^ b')) v a')
6 wdf-c2.1 . . . . 5 C (a, b) = 1
76ax-r1 35 . . . 4 1 = C (a, b)
8 df-cmtr 134 . . . 4 C (a, b) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
97, 8ax-r2 36 . . 3 1 = (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
10 dfb 94 . . . 4 (a == ((a ^ b) v (a ^ b'))) = ((a ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) v (a' ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))'))
11 ancom 74 . . . . . 6 (a ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (((a ^ b) v (a ^ b')) ^ a)
12 lea 160 . . . . . . . 8 (a ^ b) =< a
13 lea 160 . . . . . . . 8 (a ^ b') =< a
1412, 13lel2or 170 . . . . . . 7 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< a
1514df2le2 136 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a ^ b')) ^ a) = ((a ^ b) v (a ^ b'))
1611, 15ax-r2 36 . . . . 5 (a ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) = ((a ^ b) v (a ^ b'))
17 anandi 114 . . . . . 6 (a' ^ ((a' v b') ^ (a' v b))) = ((a' ^ (a' v b')) ^ (a' ^ (a' v b)))
18 oran3 93 . . . . . . . . 9 (a' v b') = (a ^ b)'
19 oran2 92 . . . . . . . . 9 (a' v b) = (a ^ b')'
2018, 192an 79 . . . . . . . 8 ((a' v b') ^ (a' v b)) = ((a ^ b)' ^ (a ^ b')')
21 anor3 90 . . . . . . . 8 ((a ^ b)' ^ (a ^ b')') = ((a ^ b) v (a ^ b'))'
2220, 21ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b') ^ (a' v b)) = ((a ^ b) v (a ^ b'))'
2322lan 77 . . . . . 6 (a' ^ ((a' v b') ^ (a' v b))) = (a' ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))')
24 anabs 121 . . . . . . . 8 (a' ^ (a' v b')) = a'
25 anabs 121 . . . . . . . 8 (a' ^ (a' v b)) = a'
2624, 252an 79 . . . . . . 7 ((a' ^ (a' v b')) ^ (a' ^ (a' v b))) = (a' ^ a')
27 anidm 111 . . . . . . 7 (a' ^ a') = a'
2826, 27ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' ^ (a' v b')) ^ (a' ^ (a' v b))) = a'
2917, 23, 283tr2 64 . . . . 5 (a' ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))') = a'
3016, 292or 72 . . . 4 ((a ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) v (a' ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))')) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v a')
3110, 30ax-r2 36 . . 3 (a == ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v a')
325, 9, 31le3tr1 140 . 2 1 =< (a == ((a ^ b) v (a ^ b')))
331, 32lebi 145 1 (a == ((a ^ b) v (a ^ b'))) = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   == tb 5   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   C wcmtr 29
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-le1 130  df-le2 131  df-cmtr 134
This theorem is referenced by:  wbctr  410  wcbtr  411  wcomcom2  415  wcomd  418  wcomcom5  420  wcom2or  427
  Copyright terms: Public domain W3C validator