Theorem 0el 3268

Description: Membership of the empty set in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2394	. 2 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A x = (/) )
2		eq0 3266	. . 3 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	rexbii 2373	. 2 |- ( E. x e. A x = (/) <-> E. x e. A A. y -. y e. x )
4	1, 3	bitri 182	1 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   (/)c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252

This theorem is referenced by: (None)