Theorem 0iun 3735

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3265	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3682	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 628	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3255	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 649	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2078	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   (/)c0 3251   U_ciun 3678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252  df-iun 3680

This theorem is referenced by:  iununir  3759  rdg0  5997