Theorem 2euswapdc 2032

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1593	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapdc 2031	. . . . 5 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )
4	3	imp 122	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
5	2, 4	anim12d 328	. . 3 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
6		eu5 1988	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
7		eu5 1988	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 203	. 2 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
9	8	ex 113	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 775   A.wal 1282   E.wex 1421   E!weu 1941   E*wmo 1942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2777  2reuswapdc  2794