Theorem bj-uniex2 10707

Description: uniex2 4191 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 10667	. . . 4 |- BOUNDED U. x
2	1	bdeli 10637	. . 3 |- BOUNDED z e. U. x
3		zfun 4189	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
4		eluni 3604	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
5	4	imbi1i 236	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	5	albii 1399	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	3, 7	mpbir 144	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
9	2, 8	bdbm1.3ii 10682	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
10		dfcleq 2075	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
11	10	exbii 1536	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
12	9, 11	mpbir 144	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   U.cuni 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-un 4188  ax-bd0 10604  ax-bdex 10610  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-uni 3602  df-bdc 10632

This theorem is referenced by:  bj-uniex  10708