Theorem clim 10120

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence F is A, or F converges to A. This means that for any real x, no matter how small, there always exists an integer j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim.1	|- ( ph -> F e. V )
clim.3	|- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )

Assertion

Ref	Expression
clim	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem clim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 10119	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex2i 4403	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> A -> A e. _V ) )
4		elex 2610	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. _V )
5	4	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V ) )
7		clim.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
8		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> y = A )
9	8	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( y e. CC <-> A e. CC ) )
10		fveq1 5197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
11	10	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
12	11	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) e. CC <-> ( F ` k ) e. CC ) )
13		oveq12 5541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) = ( F ` k ) /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
14	10, 13	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
15	14	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
16	15	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
17	12, 16	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
18	17	ralbidv 2368	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
19	18	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
20	19	ralbidv 2368	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
21	9, 20	anbi12d 456	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
22		df-clim 10118	. . . . . 6 |- ~~> = { <. f , y >. | ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) }
23	21, 22	brabga 4019	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. _V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
24	23	ex 113	. . . 4 |- ( F e. V -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
25	7, 24	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
26	3, 6, 25	pm5.21ndd 653	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
27		eluzelz 8628	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
28		clim.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )
29	28	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> B e. CC ) )
30	28	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) - A ) = ( B - A ) )
31	30	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
32	31	breq1d 3795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
33	29, 32	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
34	27, 33	sylan2 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
35	34	ralbidva 2364	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
36	35	rexbidv 2369	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
37	36	ralbidv 2368	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
38	37	anbi2d 451	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )
39	26, 38	bitrd 186	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   < clt 7153   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   abscabs 9883   ~~> cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  climcl  10121  clim2  10122  climshftlemg  10141