Theorem climcn1 10147

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1.3	|- ( ph -> A e. B )
climcn1.4	|- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
climcn1.5	|- ( ph -> G ~~> A )
climcn1.6	|- ( ph -> H e. W )
climcn1.7	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
climcn1.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
climcn1.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1	|- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   B, k, z   k, G, y, z   k, H, x   k, F, x, y, z   ph, k, x, y, z   k, Z, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   G( x)   H( y, z)   M( x, y, z, k)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
5		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
6		eqidd 2082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G ~~> A )
8	7	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> G ~~> A )
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 10127	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
10	2	uztrn2 8636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
12	11	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
13		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( z - A ) = ( ( G ` k ) - A ) )
14	13	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( z - A ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) )
15	14	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
16		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( G ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
17	16	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) )
18	17	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) )
19	18	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
20	15, 19	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
21	20	rspcva 2699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. B /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
22	12, 21	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
24	10, 23	sylan2 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
25	24	anassrs 392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
26	25	ralimdva 2429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
27	26	reximdva 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
28	27	ex 113	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
29	9, 28	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
30	29	rexlimdva 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
31	30	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
32	1, 31	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2434	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
34		climcn1.6	. . 3 |- ( ph -> H e. W )
35		climcn1.9	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
36		climcn1.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
37		climcn1.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
38	37	ralrimiva 2434	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
39		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
40	39	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` A ) e. CC ) )
41	40	rspcv 2697	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` A ) e. CC ) )
42	36, 38, 41	sylc 61	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
43	38	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
44	16	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
45	44	rspcv 2697	. . . 4 |- ( ( G ` k ) e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
46	11, 43, 45	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC )
47	2, 3, 34, 35, 42, 46	clim2c 10123	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( F ` A ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
48	33, 47	mpbird 165	1 |- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   < clt 7153   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   abscabs 9883   ~~> cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  climcn1lem  10157