Theorem cnvcnv3 4790

Description: The set of all ordered pairs in a class is the same as the double converse. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnv3	|- `' `' R = { <. x , y >. | x R y }

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem cnvcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4371	. 2 |- `' `' R = { <. x , y >. | y `' R x }
2		vex 2604	. . . 4 |- y e. _V
3		vex 2604	. . . 4 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4536	. . 3 |- ( y `' R x <-> x R y )
5	4	opabbii 3845	. 2 |- { <. x , y >. | y `' R x } = { <. x , y >. | x R y }
6	1, 5	eqtri 2101	1 |- `' `' R = { <. x , y >. | x R y }

Syntax hints:   = wceq 1284   class class class wbr 3785   {copab 3838   `'ccnv 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371

This theorem is referenced by:  dfrel4v  4792