Theorem codir 4733

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	|- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4392	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		df-br 3786	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) )
3		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2604	. . . . . 6 |- y e. _V
5		brcodir 4732	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 416	. . . . 5 |- ( x ( `' R o. R ) y <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
7	2, 6	bitr3i 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' R o. R ) <-> E. z ( x R z /\ y R z ) )
8	1, 7	imbi12i 237	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
9	8	2albii 1400	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
10		relxp 4465	. . 3 |- Rel ( A X. B )
11		ssrel 4446	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) ) )
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( `' R o. R ) ) )
13		r2al 2385	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z ( x R z /\ y R z ) ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 210	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. x e. A A. y e. B E. z ( x R z /\ y R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   `'ccnv 4362   o. ccom 4367   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372

This theorem is referenced by: (None)