Theorem decmac 8528

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decmac.p	|- P e. NN0
decmac.f	|- F e. NN0
decmac.g	|- G e. NN0
decmac.e	|- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
decmac.2	|- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F

Assertion

Ref	Expression
decmac	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8494	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 8480	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2101	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 8480	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2101	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decmac.p	. . 3 |- P e. NN0
13		decmac.f	. . 3 |- F e. NN0
14		decmac.g	. . 3 |- G e. NN0
15		decmac.e	. . 3 |- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
16		decmac.2	. . . 4 |- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F
17		dfdec10 8480	. . . 4 |- ; G F = ( (; 1 0 x. G ) + F )
18	16, 17	eqtri 2101	. . 3 |- ( ( B x. P ) + D ) = ( (; 1 0 x. G ) + F )
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 8521	. 2 |- ( ( M x. P ) + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
20		dfdec10 8480	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
21	19, 20	eqtr4i 2104	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   NN0cn0 8288  ;cdc 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-dec 8478

This theorem is referenced by:  decrmac  8534