Theorem dfnul3 3254

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1629	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 606	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 659	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 649	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2194	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3253	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2357	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2111	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   {crab 2352   (/)c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  difidALT  3313