Theorem distnq0r 6653

Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. Version of distrnq0 6649 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distnq0r	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Proof of Theorem distnq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrnq0 6649	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
2		addclnq0 6641	. . . 4 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( B +Q0 C ) e. Q0 )
3		mulcomnq0 6650	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B +Q0 C ) e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
4	2, 3	sylan2 280	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
5	4	3impb 1134	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
6		mulcomnq0 6650	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
7	6	3adant3 958	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
8		mulcomnq0 6650	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
9	8	3adant2 957	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
10	7, 9	oveq12d 5550	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )
11	1, 5, 10	3eqtr3d 2121	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532  Q₀cnq0 6477   +_Q0 cplq0 6479   ·_Q0 cmq0 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-plq0 6617  df-mq0 6618

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6692