Theorem dmoprab 5605

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5572	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	dmeqi 4554	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		dmopab 4564	. 2 |- dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1620	. . . . 5 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		19.42v 1827	. . . . . 6 |- ( E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
6	5	2exbii 1537	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
7	4, 6	bitri 182	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
8	7	abbii 2194	. . 3 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
9		df-opab 3840	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
10	8, 9	eqtr4i 2104	. 2 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ph }
11	2, 3, 10	3eqtri 2105	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   {cab 2067   <.cop 3401   {copab 3838   dom cdm 4363   {coprab 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-dm 4373  df-oprab 5536

This theorem is referenced by:  dmoprabss  5606  reldmoprab  5609  fnoprabg  5622  dmaddpq  6569  dmmulpq  6570