Theorem dmoprabss 5606

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 5605	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		19.42v 1827	. . . 4 |- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) )
3	2	opabbii 3845	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) }
4		opabssxp 4432	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) } C_ ( A X. B )
5	3, 4	eqsstri 3029	. 2 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
6	1, 5	eqsstri 3029	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 102   E.wex 1421   e. wcel 1433   C_ wss 2973   {copab 3838   X. cxp 4361   dom cdm 4363   {coprab 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-dm 4373  df-oprab 5536

This theorem is referenced by:  elmpt2cl  5718  oprabexd  5774  oprabex  5775