Theorem elovmpt2 5721

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpt2.d	|- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
elovmpt2.c	|- C e. _V
elovmpt2.e	|- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
elovmpt2	|- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   E, a, b   F, a, b   X, a, b   Y, a, b

Allowed substitution hints:   C( a, b)   D( a, b)

Proof of Theorem elovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpt2.d	. . . 4 |- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
2	1	elmpt2cl 5718	. . 3 |- ( F e. ( X D Y ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
3		elovmpt2.c	. . . . . . 7 |- C e. _V
4	3	gen2 1379	. . . . . 6 |- A. a A. b C e. _V
5		elovmpt2.e	. . . . . . . 8 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )
6	5	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( C e. _V <-> E e. _V ) )
7	6	spc2gv 2688	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. a A. b C e. _V -> E e. _V ) )
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> E e. _V )
9	5, 1	ovmpt2ga 5650	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ E e. _V ) -> ( X D Y ) = E )
10	8, 9	mpd3an3 1269	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X D Y ) = E )
11	10	eleq2d 2148	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X D Y ) <-> F e. E ) )
12	2, 11	biadan2 443	. 2 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
13		df-3an 921	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
14	12, 13	bitr4i 185	1 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537

This theorem is referenced by: (None)