Theorem eluzgtdifelfzo 9206

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
2	1	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
3		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4	3	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. ZZ )
5		eluzelz 8628	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. ZZ )
6	5	ad2antrr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
7		simprr 498	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8	6, 7	zsubcld 8474	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
9	8	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
10	4, 9	zaddcld 8473	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A + ( N - B ) ) e. ZZ )
11		zre 8355	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
12		zre 8355	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
13		posdif 7559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> 0 < ( A - B ) ) )
14	13	biimpd 142	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
15	11, 12, 14	syl2anr 284	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
16	15	adantld 272	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> 0 < ( A - B ) ) )
17	16	imp 122	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> 0 < ( A - B ) )
18		resubcl 7372	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
19	12, 11, 18	syl2an 283	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. RR )
20	19	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A - B ) e. RR )
21		eluzelre 8629	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. RR )
22	21	ad2antrl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. RR )
23	20, 22	ltaddposd 7629	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( 0 < ( A - B ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( N + ( A - B ) ) )
25		zcn 8356	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
26	25	ad2antrr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. CC )
27		eluzelcn 8630	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. CC )
28	27	ad2antrl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. CC )
29		zcn 8356	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
30	29	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
31	30	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> B e. CC )
32		addsub12 7321	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( N - B ) ) = ( N + ( A - B ) ) )
33	32	breq2d 3797	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
35	24, 34	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( A + ( N - B ) ) )
36		elfzo2 9160	. . . 4 |- ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( A + ( N - B ) ) e. ZZ /\ N < ( A + ( N - B ) ) ) )
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1122	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) )
38		fzosubel3 9205	. . 3 |- ( ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) /\ ( N - B ) e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
39	37, 9, 38	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
40	39	ex 113	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984   < clt 7153   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  9207