Theorem exse2 4719

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2357	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4557	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3069	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3029	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4614	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 3917	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 405	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2435	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4088	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 132	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   Se wse 4084   dom cdm 4363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-se 4088  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374

This theorem is referenced by: (None)