Theorem dfse2 4718

Description: Alternate definition of set-like relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfse2	|- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem dfse2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-se 4088	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
2		dfrab3 3240	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i { y | y R x } )
3		vex 2604	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		iniseg 4717	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( `' R " { x } ) = { y | y R x } )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( `' R " { x } ) = { y | y R x }
6	5	ineq2i 3164	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { x } ) ) = ( A i^i { y | y R x } )
7	2, 6	eqtr4i 2104	. . . 4 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i ( `' R " { x } ) )
8	7	eleq1i 2144	. . 3 |- ( { y e. A | y R x } e. _V <-> ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
9	8	ralbii 2372	. 2 |- ( A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
10	1, 9	bitri 182	1 |- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   {crab 2352   _Vcvv 2601   i^i cin 2972   {csn 3398   class class class wbr 3785   Se wse 4084   `'ccnv 4362   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-se 4088  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  isoselem  5479