Theorem f1ocnvb 5160

Description: A relation is a one-to-one onto function iff its converse is a one-to-one onto function with domain and range interchanged. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvb	|- ( Rel F -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> `' F : B -1-1-onto-> A ) )

Proof of Theorem f1ocnvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5159	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
2		f1ocnv 5159	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' `' F : A -1-1-onto-> B )
3		dfrel2 4791	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
4		f1oeq1 5137	. . . 4 |- ( `' `' F = F -> ( `' `' F : A -1-1-onto-> B <-> F : A -1-1-onto-> B ) )
5	3, 4	sylbi 119	. . 3 |- ( Rel F -> ( `' `' F : A -1-1-onto-> B <-> F : A -1-1-onto-> B ) )
6	2, 5	syl5ib 152	. 2 |- ( Rel F -> ( `' F : B -1-1-onto-> A -> F : A -1-1-onto-> B ) )
7	1, 6	impbid2 141	1 |- ( Rel F -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> `' F : B -1-1-onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1284   `'ccnv 4362   Rel wrel 4368   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by: (None)