Theorem foelrn 5338

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem foelrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 5335	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
2	1	simprbi 269	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) )
3		eqeq1 2087	. . . 4 |- ( y = C -> ( y = ( F ` x ) <-> C = ( F ` x ) ) )
4	3	rexbidv 2369	. . 3 |- ( y = C -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
5	4	rspccva 2700	. 2 |- ( ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )
6	2, 5	sylan 277	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   -->wf 4918   -onto->wfo 4920   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fo 4928  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  foco2  5339