Theorem fvpr1 5386

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	|- A e. _V
fvpr1.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	|- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3405	. . . 4 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5199	. . 3 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2329	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvpr1.1	. . . . 5 |- A e. _V
5		fvunsng 5378	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	4, 5	mpan 414	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	3, 6	sylbi 119	. . 3 |- ( A =/= B -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8	2, 7	syl5eq 2125	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
9		fvpr1.2	. . 3 |- C e. _V
10	4, 9	fvsn 5379	. 2 |- ( { <. A , C >. } ` A ) = C
11	8, 10	syl6eq 2129	1 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   _Vcvv 2601   u. cun 2971   {csn 3398   {cpr 3399   <.cop 3401   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-res 4375  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  fvpr2  5387