ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzospliti Unicode version
Theorem fzospliti 9185
Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzospliti |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )
Proof of Theorem fzospliti
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2 elfzoelz 9157 . . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
32adantr 270 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4 zlelttric 8396 . . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
51, 3, 4syl2anc 403 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
65orcomd 680 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D \/ D <_ A ) )
7 elfzole1 9164 . . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
87adantr 270 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
98a1d 22 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> B <_ A ) )
109ancrd 319 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
11 elfzolt2 9165 . . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1211adantr 270 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
1312a1d 22 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> A < C ) )
1413ancld 318 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
1510, 14orim12d 732 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A < D \/ D <_ A ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
166, 15mpd 13 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) )
17 elfzoel1 9155 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
1817adantr 270 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
19 elfzo 9159 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
203, 18, 1, 19syl3anc 1169 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
21 elfzoel2 9156 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
2221adantr 270 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
23 elfzo 9159 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
243, 1, 22, 23syl3anc 1169 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
2520, 24orbi12d 739 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) <-> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
2616, 25mpbird 165 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351  ..^cfzo 9152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153
This theorem is referenced by:  fzosplit  9186  fzocatel  9208
  Copyright terms: Public domain W3C validator