Theorem imadiflem 4998

Description: One direction of imadif 4999. This direction does not require Fun `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
imadiflem	|- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Proof of Theorem imadiflem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2354	. . . 4 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
2		df-rex 2354	. . . . 5 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
3	2	notbii 626	. . . 4 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
4		alnex 1428	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
5		19.29r 1552	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
6	4, 5	sylan2br 282	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
7		simpl 107	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. A /\ x F y ) )
8		simplr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> x F y )
9		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
10		ancom 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y /\ x e. B ) )
11	10	notbii 626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
12		imnan 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x F y -> -. x e. B ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
13	11, 12	bitr4i 185	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y -> -. x e. B ) )
14	9, 13	sylib 120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	8, 14	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. x e. B )
16	7, 15, 8	jca32 303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
17		eldif 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	anbi1i 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
19		anandir 555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
20	18, 19	bitri 182	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
21	16, 20	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
22	21	eximi 1531	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
23	6, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
24		df-rex 2354	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
25	23, 24	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
26	1, 3, 25	syl2anb 285	. . 3 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
27	26	ss2abi 3066	. 2 |- { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } C_ { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
28		dfima2 4690	. . . 4 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
29		dfima2 4690	. . . 4 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
30	28, 29	difeq12i 3088	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
31		difab 3233	. . 3 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
32	30, 31	eqtri 2101	. 2 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
33		dfima2 4690	. 2 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
34	27, 32, 33	3sstr4i 3038	1 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   \ cdif 2970   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  imadif  4999