Theorem leneg 7569

Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )

Proof of Theorem leneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7119	. . 3 |- 0 e. RR
2		lesub2 7561	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) ) )
3	1, 2	mp3an3 1257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) ) )
4		df-neg 7282	. . 3 |- -u B = ( 0 - B )
5		df-neg 7282	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
6	4, 5	breq12i 3794	. 2 |- ( -u B <_ -u A <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) )
7	3, 6	syl6bbr 196	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  lenegcon1  7570  lenegcon2  7571  le0neg1  7574  le0neg2  7575  lenegi  7595  lenegd  7624  uzneg  8637  iccneg  9011