Theorem negcl 7308

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7282	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 7111	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 7307	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 414	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	syl5eqel 2165	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   - cmin 7279   -ucneg 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  negicn  7309  negcon1  7360  negdi  7365  negdi2  7366  negsubdi2  7367  neg2sub  7368  negcli  7376  negcld  7406  mulneg2  7500  mul2neg  7502  mulsub  7505  divnegap  7794  divsubdirap  7796  divsubdivap  7816  eqneg  7820  div2negap  7823  divneg2ap  7824  zeo  8452  sqneg  9535  binom2sub  9587  shftval4  9716  shftcan1  9722  shftcan2  9723  crim  9745  resub  9757  imsub  9765  cjneg  9777  cjsub  9779  absneg  9936  abs2dif2  9993  subcn2  10150