Theorem optocl 4434

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = ( B X. C )
optocl.2	|- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
optocl.3	|- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- ( A e. D -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   D( x, y)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4412	. . 3 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )
2		opelxp 4392	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
3		optocl.3	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )
4	2, 3	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ph )
5		optocl.2	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
6	4, 5	syl5ib 152	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ps ) )
7	6	imp 122	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
8	7	exlimivv 1817	. . 3 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
9	1, 8	sylbi 119	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> ps )
10		optocl.1	. 2 |- D = ( B X. C )
11	9, 10	eleq2s 2173	1 |- ( A e. D -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  2optocl  4435  3optocl  4436  ecoptocl  6216  ax1rid  7043  ax0id  7044  axcnre  7047