Theorem ottposg 5893

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Proof of Theorem ottposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtposg 5892	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
2		df-br 3786	. . 3 |- ( <. A , B >.tpos F C <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
3		df-br 3786	. . 3 |- ( <. B , A >. F C <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
4	1, 2, 3	3bitr3g 220	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. tpos F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F ) )
5		df-ot 3408	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
6	5	eleq1i 2144	. 2 |- ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
7		df-ot 3408	. . 3 |- <. B , A , C >. = <. <. B , A >. , C >.
8	7	eleq1i 2144	. 2 |- ( <. B , A , C >. e. F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
9	4, 6, 8	3bitr4g 221	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   <.cop 3401   <.cotp 3402   class class class wbr 3785  tpos ctpos 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-ot 3408  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930  df-tpos 5883

This theorem is referenced by: (None)