Theorem poinxp 4427

Description: Intersection of partial order with cross product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
poinxp	|- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Proof of Theorem poinxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> x e. A )
2		brinxp 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
3	1, 1, 2	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
4	3	notbid 624	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. x R x <-> -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5		brinxp 4426	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
6	5	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
7		brinxp 4426	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
8	7	adantll 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
9	6, 8	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
10		brinxp 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
11	10	adantlr 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
12	9, 11	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
13	4, 12	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
14	13	ralbidva 2364	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
15	14	ralbidva 2364	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
16	15	ralbiia 2380	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
17		df-po 4051	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18		df-po 4051	. 2 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 210	1 |- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   A.wral 2348   i^i cin 2972   class class class wbr 3785   Po wpo 4049   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-po 4051  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  soinxp  4428