Theorem relresfld 4867

Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
relresfld	|- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Proof of Theorem relresfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 4866	. . . 4 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )
2	1	reseq2d 4630	. . 3 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) )
3		resundi 4643	. . 3 |- ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) )
4		eqtr 2098	. . . 4 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) )
5		resss 4653	. . . . 5 |- ( R |` ran R ) C_ R
6		resdm 4667	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( R |` dom R ) = R )
7		ssequn2 3145	. . . . . 6 |- ( ( R |` ran R ) C_ R <-> ( R u. ( R |` ran R ) ) = R )
8		uneq1 3119	. . . . . . . . 9 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) )
9	8	eqeq2d 2092	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) <-> ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) ) )
10		eqtr 2098	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) /\ ( R u. ( R |` ran R ) ) = R ) -> ( R |` U. U. R ) = R )
11	10	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
12	9, 11	syl6bi 161	. . . . . . 7 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
13	12	com3r 78	. . . . . 6 |- ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
14	7, 13	sylbi 119	. . . . 5 |- ( ( R |` ran R ) C_ R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
15	5, 6, 14	mpsyl 64	. . . 4 |- ( Rel R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
16	4, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
17	2, 3, 16	sylancl 404	. 2 |- ( Rel R -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
18	17	pm2.43i 48	1 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   u. cun 2971   C_ wss 2973   U.cuni 3601   dom cdm 4363   ran crn 4364   |` cres 4365   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375

This theorem is referenced by: (None)