Theorem resasplitss 5089

Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resasplitss	|- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Proof of Theorem resasplitss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3115	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) = ( F |` ( A i^i B ) )
2	1	uneq1i 3122	. . 3 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
3		un4 3132	. . . 4 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
4		simp3 940	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) )
5	4	uneq1d 3125	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
6	5	uneq2d 3126	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) )
7		resundi 4643	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) )
8		inundifss 3321	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A
9		ssres2 4656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A -> ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) )
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
11	7, 10	eqsstr3i 3030	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
12		resundi 4643	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) )
13		incom 3158	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
14	13	uneq1i 3122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
15		inundifss 3321	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) C_ B
16	14, 15	eqsstri 3029	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B
17		ssres2 4656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B -> ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) )
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
19	12, 18	eqsstr3i 3030	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
20		unss12 3144	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) /\ ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
21	11, 19, 20	mp2an 416	. . . . 5 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) )
22	6, 21	syl6eqss 3049	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
23	3, 22	syl5eqssr 3044	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
24	2, 23	syl5eqssr 3044	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
25		fnresdm 5028	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
26		fnresdm 5028	. . . 4 |- ( G Fn B -> ( G |` B ) = G )
27		uneq12 3121	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) = F /\ ( G |` B ) = G ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
28	25, 26, 27	syl2an 283	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
29	28	3adant3 958	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
30	24, 29	sseqtrd 3035	1 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 919   = wceq 1284   \ cdif 2970   u. cun 2971   i^i cin 2972   C_ wss 2973   |` cres 4365   Fn wfn 4917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-dm 4373  df-res 4375  df-fun 4924  df-fn 4925

This theorem is referenced by: (None)