Theorem ressn 4878

Description: Restriction of a class to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ressn	|- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Proof of Theorem ressn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4657	. 2 |- Rel ( A |` { B } )
2		relxp 4465	. 2 |- Rel ( { B } X. ( A " { B } ) )
3		ancom 262	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) )
4		vex 2604	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2604	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	elimasn 4712	. . . . . 6 |- ( y e. ( A " { x } ) <-> <. x , y >. e. A )
7		elsni 3416	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { B } -> x = B )
8	7	sneqd 3411	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> { x } = { B } )
9	8	imaeq2d 4688	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } -> ( A " { x } ) = ( A " { B } ) )
10	9	eleq2d 2148	. . . . . 6 |- ( x e. { B } -> ( y e. ( A " { x } ) <-> y e. ( A " { B } ) ) )
11	6, 10	syl5bbr 192	. . . . 5 |- ( x e. { B } -> ( <. x , y >. e. A <-> y e. ( A " { B } ) ) )
12	11	pm5.32i 441	. . . 4 |- ( ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
13	3, 12	bitri 182	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
14	5	opelres 4635	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) )
15		opelxp 4392	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 210	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) )
17	1, 2, 16	eqrelriiv 4452	1 |- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {csn 3398   <.cop 3401   X. cxp 4361   |` cres 4365   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by: (None)