Theorem reu2 2780

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
reu2	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1461	. . 3 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
2	1	eu2 1985	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
3		df-reu 2355	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-rex 2354	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
5		df-ral 2353	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
6		19.21v 1794	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. A
8		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [ y / x ] ph
9	7, 8	nfan 1497	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( y e. A /\ [ y / x ] ph )
10		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		sbequ12 1694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
12	10, 11	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
13	9, 12	sbie 1714	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
14	13	anbi2i 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
15		an4 550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
16	14, 15	bitri 182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
17	16	imbi1i 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
18		impexp 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
19		impexp 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 204	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
21	20	albii 1399	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
22		df-ral 2353	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23	22	imbi2i 224	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
24	6, 21, 23	3bitr4i 210	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
25	24	albii 1399	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
26	5, 25	bitr4i 185	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
27	4, 26	anbi12i 447	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
28	2, 3, 27	3bitr4i 210	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   [wsb 1685   E!weu 1941   A.wral 2348   E.wrex 2349   E!wreu 2350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355

This theorem is referenced by: (None)