Theorem reupick 3248

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reupick	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reupick

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2993	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	ad2antrr 471	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		df-rex 2354	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-reu 2355	. . . . . 6 |- ( E! x e. B ph <-> E! x ( x e. B /\ ph ) )
5	3, 4	anbi12i 447	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) )
6	1	ancrd 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
7	6	anim1d 329	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) ) )
8		an32 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) )
9	7, 8	syl6ib 159	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
10	9	eximdv 1801	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
11		eupick 2020	. . . . . . . . 9 |- ( ( E! x ( x e. B /\ ph ) /\ E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
12	11	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) )
13	10, 12	syl9 71	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
14	13	com23 77	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
15	14	imp32 253	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
16	5, 15	sylan2b 281	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
17	16	expcomd 1370	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ph -> ( x e. B -> x e. A ) ) )
18	17	imp 122	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
19	2, 18	impbid 127	1 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   E.wrex 2349   E!wreu 2350   C_ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-rex 2354  df-reu 2355  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  supelti  6415