Theorem reuun2 3247

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	|- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2354	. . 3 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
2		euor2 1999	. . 3 |- ( -. E. x ( x e. B /\ ph ) -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
3	1, 2	sylnbi 635	. 2 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
4		df-reu 2355	. . 3 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
5		elun 3113	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6	5	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
7		andir 765	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		orcom 679	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
9	7, 8	bitri 182	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
10	6, 9	bitri 182	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	10	eubii 1950	. . 3 |- ( E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
12	4, 11	bitri 182	. 2 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
13		df-reu 2355	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
14	3, 12, 13	3bitr4g 221	1 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   E.wrex 2349   E!wreu 2350   u. cun 2971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-un 2977

This theorem is referenced by: (None)