Theorem ssel 2993

Description: Membership relationships follow from a subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssel	|- ( A C_ B -> ( C e. A -> C e. B ) )

Proof of Theorem ssel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 2988	. . . . . 6 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	biimpi 118	. . . . 5 |- ( A C_ B -> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3	2	19.21bi 1490	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
4	3	anim2d 330	. . 3 |- ( A C_ B -> ( ( x = C /\ x e. A ) -> ( x = C /\ x e. B ) ) )
5	4	eximdv 1801	. 2 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x = C /\ x e. A ) -> E. x ( x = C /\ x e. B ) ) )
6		df-clel 2077	. 2 |- ( C e. A <-> E. x ( x = C /\ x e. A ) )
7		df-clel 2077	. 2 |- ( C e. B <-> E. x ( x = C /\ x e. B ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 203	1 |- ( A C_ B -> ( C e. A -> C e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   C_ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  ssel2  2994  sseli  2995  sseld  2998  sstr2  3006  ssralv  3058  ssrexv  3059  ralss  3060  rexss  3061  ssconb  3105  sscon  3106  ssdif  3107  unss1  3141  ssrin  3191  difin2  3226  reuss2  3244  reupick  3248  sssnm  3546  uniss  3622  ss2iun  3693  ssiun  3720  iinss  3729  disjss2  3769  disjss1  3772  pwnss  3933  sspwb  3971  ssopab2b  4031  soss  4069  sucssel  4179  ssorduni  4231  onintonm  4261  onnmin  4311  ssnel  4312  wessep  4320  ssrel  4446  ssrel2  4448  ssrelrel  4458  xpss12  4463  cnvss  4526  dmss  4552  elreldm  4578  dmcosseq  4621  relssres  4666  iss  4674  resopab2  4675  issref  4727  ssrnres  4783  dfco2a  4841  cores  4844  funssres  4962  fununi  4987  funimaexglem  5002  dfimafn  5243  funimass4  5245  funimass3  5304  dff4im  5334  funfvima2  5412  funfvima3  5413  f1elima  5433  riotass2  5514  ssoprab2b  5582  resoprab2  5618  releldm2  5831  reldmtpos  5891  dmtpos  5894  rdgss  5993  negf1o  7486  lbreu  8023  lbinf  8026  eqreznegel  8699  negm  8700  iccsupr  8989  negfi  10110  bdop  10666  bj-nnen2lp  10749