Theorem elun 3113

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elun	|- ( A e. ( B u. C ) <-> ( A e. B \/ A e. C ) )

Proof of Theorem elun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2610	. 2 |- ( A e. ( B u. C ) -> A e. _V )
2		elex 2610	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		elex 2610	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
4	2, 3	jaoi 668	. 2 |- ( ( A e. B \/ A e. C ) -> A e. _V )
5		eleq1 2141	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
6		eleq1 2141	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. C <-> A e. C ) )
7	5, 6	orbi12d 739	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. B \/ x e. C ) <-> ( A e. B \/ A e. C ) ) )
8		df-un 2977	. . 3 |- ( B u. C ) = { x | ( x e. B \/ x e. C ) }
9	7, 8	elab2g 2740	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B u. C ) <-> ( A e. B \/ A e. C ) ) )
10	1, 4, 9	pm5.21nii 652	1 |- ( A e. ( B u. C ) <-> ( A e. B \/ A e. C ) )

Syntax hints:   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977

This theorem is referenced by:  uneqri  3114  uncom  3116  uneq1  3119  unass  3129  ssun1  3135  unss1  3141  ssequn1  3142  unss  3146  rexun  3152  ralunb  3153  unssdif  3199  unssin  3203  inssun  3204  indi  3211  undi  3212  difundi  3216  difindiss  3218  undif3ss  3225  symdifxor  3230  rabun2  3243  reuun2  3247  undif4  3306  ssundifim  3326  dfpr2  3417  eltpg  3438  pwprss  3597  pwtpss  3598  uniun  3620  intun  3667  iunun  3755  iunxun  3756  iinuniss  3758  brun  3831  pwunss  4038  elsuci  4158  elsucg  4159  elsuc2g  4160  ordsucim  4244  sucprcreg  4292  opthprc  4409  xpundi  4414  xpundir  4415  funun  4964  mptun  5049  unpreima  5313  reldmtpos  5891  dftpos4  5901  tpostpos  5902  onunsnss  6383  elnn0  8290  un0addcl  8321  un0mulcl  8322  ltxr  8849  elxr  8850  fzsplit2  9069  elfzp1  9089  uzsplit  9109  elfzp12  9116  fzosplit  9186  fzouzsplit  9188  elfzonlteqm1  9219  fzosplitsni  9244  fz01or  10278  bj-nntrans  10746  bj-nnelirr  10748