Theorem rnpropg 4820

Description: The range of a pair of ordered pairs is the pair of second members. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rnpropg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Proof of Theorem rnpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3405	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	rneqi 4580	. 2 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
3		rnsnopg 4819	. . . . 5 |- ( A e. V -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 4819	. . . . 5 |- ( B e. W -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	4, 6	uneq12d 3127	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
8		rnun 4752	. . 3 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
9		df-pr 3405	. . 3 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2138	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = { C , D } )
11	2, 10	syl5eq 2125	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   {csn 3398   {cpr 3399   <.cop 3401   ran crn 4364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374

This theorem is referenced by: (None)