Theorem sbal2 1939

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1407	. . 3 |- ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
2		hbnae 1649	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
3		dveeq1 1936	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( y = z -> A. x y = z ) )
4	3	alimi 1384	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
5	4	hbnaes 1651	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
6		19.21ht 1513	. . . . 5 |- ( A. x ( y = z -> A. x y = z ) -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
8	2, 7	albidh 1409	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
9	1, 8	syl5rbbr 193	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
10		sb6 1807	. 2 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
11		sb6 1807	. . 3 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	11	albii 1399	. 2 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
13	9, 10, 12	3bitr4g 221	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   [wsb 1685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686

This theorem is referenced by: (None)