Theorem sefvex 5216

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	|- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. _V )
3		simp3 940	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A F x )
4		simp2 939	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A e. _V )
5		brcnvg 4534	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A e. _V ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
6	1, 4, 5	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
7	3, 6	mpbird 165	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x `' F A )
8		breq1 3788	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y `' F A <-> x `' F A ) )
9	8	elrab 2749	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } <-> ( x e. _V /\ x `' F A ) )
10	2, 7, 9	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. { y e. _V | y `' F A } )
11		elssuni 3629	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
13	12	3expia 1140	. . . 4 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
14	13	alrimiv 1795	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
15		fvss 5209	. . 3 |- ( A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
17		seex 4090	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> { y e. _V | y `' F A } e. _V )
18		uniexg 4193	. . 3 |- ( { y e. _V | y `' F A } e. _V -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
20		ssexg 3917	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } /\ U. { y e. _V | y `' F A } e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
21	16, 19, 20	syl2anc 403	1 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   A.wal 1282   e. wcel 1433   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   U.cuni 3601   class class class wbr 3785   Se wse 4084   `'ccnv 4362   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-se 4088  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)